什么是堆？

堆是一种特殊类型的基于树的数据结构，它实现了完整二叉树。它是一种高级数据结构，主要用于排序和实现优先级队列。

堆的特征

• 堆使用完整二叉树来避免数组中出现空洞。
• 完整二叉树是每个节点最多有两个子节点的树，除了叶节点可以为空之外，所有级别的节点都是满的。
• 堆根据堆属性构建，它将父节点键与其子节点键进行比较。
• 需要注意的是，堆并不总是排序的，它们遵循的关键条件是最大或最小元素放置在根节点（顶部）上，具体取决于它是最大堆还是最小堆。

与堆内存的区别

堆数据结构与堆内存不同。堆内存是计算机内存的一部分，用于存储动态分配的变量，而堆数据结构是一种抽象数据类型，用于组织和管理数据。

优点和缺点

优点：

• 快速且有效地组织和管理数据。
• 查找最小或最大元素的效率很高。
• 用于实现优先级队列，这在调度和任务管理中很有用。

缺点：

• 插入和删除元素需要重新排序堆，这可能会很耗时。
• 不支持随机访问，因为元素的位置取决于堆属性。

应用

• 查找数组中的最小或最大元素。
• 顺序统计和选择算法。
• 优先级队列。

基本操作

构建最大堆

最大堆中的元素遵循最大堆属性，这意味着父节点的键始终大于两个子节点的键。要构建最大堆：

1. 将元素插入数组中。
2. 使用 __percolateUp() 方法对新插入的元素进行上滤，直到它到达正确的位置。

移除根节点

要从最大堆中移除根节点：

1. 将根节点与最后一个元素交换。
2. 删除最后一个元素。
3. 使用 __maxHeapify() 方法对新根节点进行下滤，直到它到达正确的位置。

JavaScript中实现最大堆

```javascript class MaxHeap { constructor() { this.heap = []; this.elements = 0; } insert(val) { if (this.elements >= this.heap.length) { this.elements++; this.heap.push(val); this.__percolateUp(this.heap.length - 1); } else { this.heap[this.elements] = val; this.elements++; this.__percolateUp(this.elements - 1); } } getMax() { if (this.elements !== 0) return this.heap[0]; return null; } removeMax() { let max = this.heap[0]; if (this.elements > 1) { this.heap[0] = this.heap[this.elements - 1]; this.elements--; this.__maxHeapify(0); return max; } else if (this.elements === 1) { this.elements--; return max; } else { return null; } } __percolateUp(index) { const parent = Math.floor((index - 1) / 2); if (index <= 0) return; else if (this.heap[parent] < this.heap[index]) { let tmp = this.heap[parent]; this.heap[parent] = this.heap[index]; this.heap[index] = tmp; this.__percolateUp(parent); } } __maxHeapify(index) { const left = 2 index + 1; const right = 2 index + 2; let largest = index; if (left < this.elements && this.heap[left] > this.heap[largest]) { largest = left; } if (right < this.elements && this.heap[right] > this.heap[largest]) { largest = right; } if (largest !== index) { let tmp = this.heap[largest]; this.heap[largest] = this.heap[index]; this.heap[index] = tmp; this.__maxHeapify(largest); } } } ```

结论

堆是计算机编程中一种重要的数据结构，它提供了快速高效地组织、管理和存储数据的方法。它们在各种应用中都有应用，包括排序、优先级队列和数据压缩。了解堆的数据结构和操作对于任何开发人员来说都是至关重要的。

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急！ 内部堆排序算法的实现！！！包括大根堆的实现和小根堆的实现！！！要完整的！！！

1、 堆排序定义 n个关键字序列Kl，K2，…，Kn称为堆，当且仅当该序列满足如下性质(简称为堆性质)： (1) ki≤K2i且ki≤K2i+1 或(2)Ki≥K2i且ki≥K2i+1(1≤i≤) 若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉树的存储结构，则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：树中任一非叶结点的关键字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)结点的关键字。 关键字序列(10，15，56，25，30，70)和(70，56，30，25，15，10)分别满足堆性质(1)和(2)，故它们均是堆，其对应的完全二叉树分别如小根堆示例和大根堆示例所示。 2、大根堆和小根堆 根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最小者的堆称为小根堆。 根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最大者，称为大根堆。 注意： ①堆中任一子树亦是堆。 ②以上讨论的堆实际上是二叉堆(Binary Heap)，类似地可定义k叉堆。 3、堆排序特点 堆排序(HeapSort)是一树形选择排序。 堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系，在当前无序区中选择关键字最大(或最小)的记录。 4、堆排序与直接插入排序的区别 直接选择排序中，为了从R[1..n]中选出关键字最小的记录，必须进行n-1次比较，然后在R[2..n]中选出关键字最小的记录，又需要做n-2次比较。 事实上，后面的n-2次比较中，有许多比较可能在前面的n-1次比较中已经做过，但由于前一趟排序时未保留这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作。 堆排序可通过树形结构保存部分比较结果，可减少比较次数。 5、堆排序堆排序利用了大根堆(或小根堆)堆顶记录的关键字最大(或最小)这一特征，使得在当前无序区中选取最大(或最小)关键字的记录变得简单。 （1）用大根堆排序的基本思想① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区② 再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1]≤R[n]③ 由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。 然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2]≤R[n-1..n]，同样要将R[1..n-2]调整为堆。 ……直到无序区只有一个元素为止。 （2）大根堆排序算法的基本操作：① 初始化操作：将R[1..n]构造为初始堆；② 每一趟排序的基本操作：将当前无序区的堆顶记录R[1]和该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为堆(亦称重建堆)。 注意：①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。 ②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。 堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻，堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止。 （3）堆排序的算法：void HeapSort(SeqIAst R) { //对R[1..n]进行堆排序，不妨用R[0]做暂存单元int i；BuildHeap(R)； //将R[1-n]建成初始堆for(i=n;i>1；i--){ //对当前无序区R[1..i]进行堆排序，共做n-1趟。 R[0]=R[1]；R[1]=R[i];R[i]=R[0]； //将堆顶和堆中最后一个记录交换Heapify(R，1，i-1)； //将R[1..i-1]重新调整为堆，仅有R[1]可能违反堆性质 } //endfor } //HeapSort（4） BuildHeap和Heapify函数的实现因为构造初始堆必须使用到调整堆的操作，先讨论Heapify的实现。 ① Heapify函数思想方法每趟排序开始前R[l..i]是以R[1]为根的堆，在R[1]与R[i]交换后，新的无序区R[1..i-1]中只有R[1]的值发生了变化，故除R[1]可能违反堆性质外，其余任何结点为根的子树均是堆。 因此，当被调整区间是R[]时，只须调整以R[low]为根的树即可。 筛选法调整堆R[low]的左、右子树(若存在)均已是堆，这两棵子树的根R[2low]和R[2low+1]分别是各自子树中关键字最大的结点。 若R[low]不小于这两个孩子结点的关键字，则R[low]未违反堆性质，以R[low]为根的树已是堆，无须调整；否则必须将R[low]和它的两个孩子结点中关键字较大者进行交换，即R[low]与R[large](R[large]=max(R[2low]，R[2low+1]))交换。 交换后又可能使结点R[large]违反堆性质，同样由于该结点的两棵子树(若存在)仍然是堆，故可重复上述的调整过程，对以R[large]为根的树进行调整。 此过程直至当前被调整的结点已满足堆性质，或者该结点已是叶子为止。 上述过程就象过筛子一样，把较小的关键字逐层筛下去，而将较大的关键字逐层选上来。 因此，有人将此方法称为筛选法。 具体的算法②BuildHeap的实现 要将初始文件R[l..n]调整为一个大根堆，就必须将它所对应的完全二叉树中以每一结点为根的子树都调整为堆。 显然只有一个结点的树是堆，而在完全二叉树中，所有序号 的结点都是叶子，因此以这些结点为根的子树均已是堆。 这样，我们只需依次将以序号为 ，-1，…，1的结点作为根的子树都调整为堆即可。 具体算法。 5、大根堆排序实例 对于关键字序列(42，13，24，91，23，16，05，88)，在建堆过程中完全二叉树及其存储结构的变化情况参见。 6、 算法分析 堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成，它们均是通过调用Heapify实现的。 堆排序的最坏时间复杂度为O(nlgn)。 堆排序的平均性能较接近于最坏性能。 由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。 堆排序是就地排序，辅助空间为O(1)， 它是不稳定的排序方法。

从10000个数据元素中选10个最小的，用堆排序方法最好。

建议用一个根节点带7个节点的7叉树，建议小顶堆，然后进行堆排序取用10个终止。